Lịch sử số học

Các hệ đếm thời cổ

Những bảng đất sét Lưỡng Hà tìm thấy ở Sure và Uruk (hiện nay là Warka, Iraq) hoặc muộn hơn nhiều ở Nippur (Babylon, 2200-1350 TCN), cho thấy hệ thống đếm đã được ghi chép lại vào thiên niên kỷ thứ III trước CN. Hệ đếm của người Babylon là một hệ cơ số 60, cách tính thời gian của chúng ta bắt nguồn từ đó. Hồi đó không ai biết tới con số không và những đơn vị vắng mặt (thiếu) được biểu thị bằng một chỗ khuyết hoặc hai vạch nhỏ [1].

Các số Babylon trên 1 bảng đất sét

Trong khi đó hệ đếm của người Ai Cập cổ đại đã dùng nhất quán nhiều ký hiệu chữ tượng hình khác nhau để chỉ các bội số thập phân.

Hệ đếm Ai Cập

Ra đời muộn hơn nhiều ở miền Trung của châu Mỹ, hệ đếm cổ của người Maya là một hệ thống cơ số 20 theo 10 ngón tay và 10 ngón chân. Nhưng hệ thống của họ đã là một hệ đếm theo vị trí và có một số không ở đầu cùng, vốn không phải là một toán tử.

Các số của người Maya

Vào thế kỷ V trước CN, người Hy Lạp đã sử dụng các chữ trong bảng chữ cái. Đối với các số hàng nghìn người ta lấy lại chín chữ cái đầu tiên kèm theo một dấu phẩy bên trái các chữ cái đó (thí dụ alpha có giá trị là 1 và ,alpha có giá trị là 1000). Hệ đếm này cũng không có số không, nhưng đã được sử dụng suốt một thiên niên kỷ.

Người Hêbrơ và người Arap đã làm cho hệ thống đếm Hy Lạp phù hợp với bảng chữ cái của họ. Lúc bấy giờ các tính toán được thực hiện với các bàn tính (dụng cụ gảy bằng tay gồm nhiều hàng bi). Ở đó các chữ số biểu thị bằng giá trị những viên bi (từ “tính toán” bắt nguồn từ calculus, có nghĩa là viên sỏi).

Hệ đếm thập phân

Muộn nhất là vào khoảng thế kỷ V, nền toán học Ấn Độ đã phát hiện hệ đếm thập phân, sử dụng mười chữ số từ 0 đến 9 như chúng ta biết hiện nay.

Rồi tới năm 829, Muhammad Ibn Musa Al Khwarizmi (780-850) cho xuất bản một cuốn sách đại số, ở đó nhà bác học Arap này đã chấp nhận hệ đếm thập phân.

Tu sĩ xứ Auvergne là Gorbert đã bắt đầu tìm hiểu các chữ số Arap trong chuyến du ngoạn (980) tới Cordoue ở Tây Ban Nha và có thể truyền bá những ký hiệu đó khi trở thành Giáo hoàng Sylvestre II vào tháng 4-999.

Nhưng phải chờ tới nhà toán học Ý L. Fibonacci, còn gọi là Léonard de Pise, mà nhờ có tác phẩm Liber Abaci của ông viết năm 1202, thì khoa học Arap mới được quảng bá ở châu Âu. Và vào năm 1440, với sáng chế máy in chữ rời thì mười chữ số mới có được hình dạng cố định cuối cùng.

L. Fibonacci

Số không (0)

Hệ đếm Babylon được hoàn thiện vào thế kỷ IV trước CN bởi sự xuất hiện của số không trong các văn bản toán học, hoặc ở đầu một con số, hoặc ở giữa, nhưng không bao giờ ở cuối. Từ số không (Zero) bắt nguồn từ từ Sunya, có nghĩa là “không có gì” trong tiếng Phạn; nó trở thành Sifr trong tiếng Arap và được L. Fibonacci La tinh hoá thành Zephirum. Nó được gọi là Zero vào năm 1491 trong một khảo luận ở Florence.

Số nguyên tố

Pierre Fermat

Sau Euclide, người mà từ thế kỷ II TCN đã chứng minh rằng tập hợp số nguyên tố là vô hạn, thì Ératosthène (khoảng 284-192) đã lập được phương pháp đầu tiên sử dụng trong việc tìm các số nguyên tố trong một giới hạn nào đó.

Nhưng chính từ “định lý nhỏ” của Fermat (1640) mà nhà toán học người Pháp E. Lucas, vào năm 1876 đã hiệu chỉnh một số phương pháp nghiên cứu tính số nguyên tố của một số số lớn.

Số nguyên tố lớn nhất đã biết là (2 ^216091–1), dài khoảng 65.050 chữ số [2], nó được một nhóm nhà kỹ thuật của hãng dầu mỏ Chevron ở Houston (Texas) khám phá ra một cách ngẫu nhiên vào năm 1985. Trong khi thử một siêu máy tính họ đã phát hiện ra số nguyên tố mới đó và phải mất vài chục trang sách mới viết hết dãy số của nó.

Số vô tỉ

Trong khi chứng minh không thể viết căn bậc hai sqrt(2) dưới dạng một phân số thì Aristotle (thế kỷ IV trước CN) đã tìm ra các số vô tỉ (mà Pythagore đã linh cảm được), được gọi tạm là số “vô ước”.

Người ta đã phân biệt được số đại số như sqrt(2) và số siêu việt như pi và “e” vào thế kỷ XVII. Năm 1872 nhà toán học Pháp Ch. Hermite đã chứng minh tính siêu việt của e và năm 1882 nhà toán học Đức F. Lindemann đã chứng minh tính siêu việt của pi.

Archimedes

Số pi

Sử dụng các đa giác 96 cạnh nội tiếp và bàng tiếp đường tròn, nhà bác học Hy lạp Archimèdes (287-212 TCN) đã chứng minh rằng số pi nằm giữa (3 + 10/71) và (3 + 10/70). Vậy nên khi Ptolémée (nhà toán học Hy Lạp thế kỷ II) lấy giá trị 3,1416 cho số pi, ông đã biện minh rằng nó gần với giá trị trung bình của hai giá trị cận của Archimède.

Theo lịch sử số pi năm 1874, nhà toán học Anh W. Schanks tính được 707 chữ số thập phân của số pi, đã được khắc ở Cung Phát Minh (Palais de Découverte) ở Paris với 527 chữ số đầu tiên là chính xác còn những chữ số tiếp theo là sai. Từ đó nhờ có các máy tính người ta đã tính được hàng nghìn chữ số thập phân của số pi.

Số hoàng kim

Số hoàng kim, nghiệm của phương trình 1/x = x/(1+x), bằng (1+sqrt(5))/2 1,618 và tồn tại trong phép phân chia không đối xứng mà tỷ số giữa phần lớn và phần nhỏ bằng tỷ số giữa hai phần và phần lớn. Người ta tìm thấy số đó trước Euclide, nhưng chính Euclide vào thế kỷ III TCN đã biến nó thành bài toán nổi tiếng khi tìm cách chia một đoạn thẳng sao cho phần lớn là trung bình tỉ lệ của phần nhỏ và đoạn thẳng hoặc “phép chia hoàng kim”. Tính hài hoà dựa trên số hoàng kim đã được nghiên cứu ở nhiều bộ môn nghệ thuật: trong kiến trúc (Phidias với nhà thờ Parthénon ở thế kỷ V TCN, Alberti ở thế kỷ XV, Le Corbusier ở thế kỷ XX); trong âm nhạc (sự nghiên cứu theo thuyết Pythagore về quãng âm); trong hội hoạ (L. de Vinci, Raphael).

F. Viète

Số thập phân (thế kỷ XVI)

Cho đến cuối thế kỷ XVI người ta mới chỉ phát triển cơ số 10 cho phần nguyên của một số, phần thập phân chỉ được biểu thị dưới dạng phân số hoặc trong hệ cơ số 60 trong các đơn vị thời gian và góc. Năm 1579, nhà toán học Pháp F. Viète (1540-1603) đã tuyên bố rằng trái với các phần nghìn, phần trăm, phần chục, thì các phần sáu mươi chỉ được sử dụng ít.

Nhà toán học và vật lý xứ Flandre là S. Stevin (1548-1620) năm 1582 đã đề nghị sử dụng các số thập phân trong các tính toán; nhưng các cách viết vẫn rất khác nhau trong suốt thế kỷ XVII. Ông cũng đã đề nghị sự phân chia thập phân cho các đơn vị đo lường. Nhưng phải chờ mãi tới sau Cách mạng Pháp ta mới có được hệ mét thập phân (20/12/1799).

d’Alembert

Số ảo

Chính nhờ có nhà toán học Ý R. Bombelli (1526-1573) mà ta có định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số “không thể có” hoặc “số ảo” trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Bombelli đã định nghĩa các số đó khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai của -1.

Cho tới năm 1746 người ta đã sử dụng các số ảo mà không biết nhiều về cấu trúc của chúng. Nhưng chính nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm đó đã xác định được dạng tổng quát a+b*sqrt(-1) của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n.

Leonhard Euler

Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu “i” để chỉ căn bậc hai của -1, năm 1801 nhà toán học Đức Gauss đã dùng lại ký hiệu đó.

Tập hợp số thực

Vào thế kỷ VI TCN, nhà toán học và thiên văn học Hy Lạp Eudoxe đã thử viết ra một tập hợp không chỉ gồm số hữu tỷ mà ông cảm thấy chưa đủ. Nhưng ông đã không thành công cũng như một số nhà toán học thời cổ vốn tỏ thái độ rất ngập ngừng đối với số vô tỷ.

G. Cantor

Mãi vào thế kỷ XIX, nhà toán học Nga G. Cantor (1845-1918) mới nghiên cứu các đại lượng vô tỷ và “tính liên tục”, khái niệm giải thích cái vẻ liên tục của đoạn thẳng được tạo nên bởi vô hạn các điểm phân biệt, mỗi điểm biểu thị một số. Chính khi đó đã xuất hiện nhiều nghịch lý đặt lại vấn đề về các khái niệm trực giác. Ý thức được sự đối đầu với lương tri truyền thống, Cantor đã phải tiến hành một cuộc đấu tranh nhiều năm để thuyết phục những người cùng thời với mình. Khi Cantor mất vào 6/1/1918, sự nghiệp của ông trở nên phổ cập.

B. Mandelbrot

Số Fractal

Được B. Mandelbrot, một người Pháp gốc Ba Lan, phát minh ra năm 1962, các số fractal có khả năng trở thành một công cụ toán học để rút ra những quy luật tổ chức của tự nhiên.

Khái niệm fractal đặc biệt có ích trong việc mô tả những cấu trúc mà mỗi bộ phận của nó cho dù kích thước như thế nào đi nữa thì vẫn tương tự với toàn cấu trúc. Ví dụ: phải chăng mỗi cành của một cái cây không đại diện cho toàn bộ cả cái cây?

Các số fractall mới xuất hiện trong toán học có cơ sở ở hai định luật: định luật tương tự (autosimilarité, bộ phận tương tự với toàn thể); định luật số chiều fractal nói rằng các tập hợp số fractal có số chiều phân đoạn (không nguyên) và mảnh nọ tương ứng với mảnh kia. Một trong những áp dụng gây ấn tượng mạnh nhất của các số fractal liên quan đến sự tổng hợp các hình ảnh nhờ máy tính.